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# Native Math Rendering Test
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这是一份给 Nebula Markdown 阅读器使用的数学渲染截图样例。本文只把成对的 `$...$` 和 `$$...$$` 识别为数学公式；裸露 TeX 命令仍然按普通 Markdown 文本显示。
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## 1. 行内公式
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行内公式应该和中文、英文正常混排：圆的面积是 $S=\pi r^2$，勾股定理是 $a^2+b^2=c^2$，欧拉恒等式是 $e^{i\pi}+1=0$。这里再放一个带上下标的表达式 $x_{i+1}^2+y_{j-1}^2$，检查基线、间距和换行。
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## 2. 希腊字母与常用运算符
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\alpha+\beta+\gamma+\Delta+\Theta+\Lambda+\Omega
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$$
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\pm\quad \mp\quad \times\quad \div\quad \cdot\quad \ast\quad \circ\quad \bullet\quad \oplus\quad \otimes
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$$
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## 3. 关系符号与集合
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x\ne y,\quad x\neq y,\quad x\approx y,\quad x\equiv y,\quad x\leq y,\quad x\geq y
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$$
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$$
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A\subseteq B,\quad B\supseteq A,\quad A\cap B,\quad A\cup B,\quad x\in A,\quad x\notin B,\quad \varnothing
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## 4. 箭头
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a\to b\quad b\leftarrow a\quad A\leftrightarrow B\quad P\Rightarrow Q\quad P\Leftrightarrow Q
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$$
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下面这行中的 `->` 是普通 Markdown 文本，不应该被识别成数学：`source -> target`。
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## 5. 分式、根式与二项式
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$$
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\frac{1}{2}+\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}
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$$
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\sqrt{x^2+y^2}\quad \sqrt[3]{x^3+y^3}\quad \sqrt{\frac{a+b}{c+d}}\quad \binom{n}{k}
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## 6. 上下标与重音
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\sum_{k=1}^{n}k^2,\quad \prod_{i=1}^{n}x_i,\quad a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n
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$$
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\hat{x}
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$$
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$$
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\vec{v}
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$$
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$$
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\dot{x}\quad \ddot{x}
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$$
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## 7. 极限、导数与积分
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$$
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\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
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$$
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$$
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\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^3+2x\right)=3x^2+2,\quad
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\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}
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$$
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$$
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\int_{0}^{1}x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3},\quad
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\iint_{D}(x+y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,\quad
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\oint_C\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}
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$$
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## 8. 伸缩括号与绝对值
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$$
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\left(\frac{a}{b}\right),\quad
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\left[\sum_{i=1}^{n}x_i\right],\quad
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\left\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\right\},\quad
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\left\lvert x-1\right\rvert<\varepsilon
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$$
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## 9. 矩阵
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$$
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\begin{matrix}
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a & b \\
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c & d
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\end{matrix}
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\qquad
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\begin{pmatrix}
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1 & 0 & 0 \\
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0 & 1 & 0 \\
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0 & 0 & 1
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\end{pmatrix}
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$$
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$$
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\begin{bmatrix}
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1 & 2 & 3 \\
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4 & 5 & 6
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\end{bmatrix}
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\qquad
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\begin{vmatrix}
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a & b \\
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c & d
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\end{vmatrix}=ad-bc
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$$
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## 10. 分段函数与多行公式
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$$
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f(x)=\begin{cases}
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x^2, & x\ge 0 \\
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-x^2, & x<0
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\end{cases}
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$$
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$$
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\begin{aligned}
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(a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \\
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(a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2
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\end{aligned}
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$$
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## 11. 逻辑、偏导与向量分析
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$$
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\forall\varepsilon>0,\quad \exists\delta>0,\quad
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0<\lvert x-a\rvert<\delta\Rightarrow\lvert f(x)-f(a)\rvert<\varepsilon
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$$
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$$
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\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\quad
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\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}
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$$
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## 12. 长公式换行与收缩
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下面的块级公式用于检查过宽公式是否会自动收缩到阅读列内，而不是越过右边界：
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$$
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\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\alpha_i x_i+\beta_i y_i\right)}{\sqrt{\displaystyle\prod_{j=1}^{m}\left(1+z_j^2\right)}}
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\leq
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\left\lvert\int_{0}^{1}\frac{e^{t^2}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\right\rvert+\left\lvert\oint_C\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}\right\rvert
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$$
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## 13. 空行与 Unicode 说明文字
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下面的公式中故意保留空行和中文说明，检查块级 `$$` 的跨行处理：
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$$
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\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b
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这里是公式内部的中文说明：和角公式。
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\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b
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$$
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## 14. 边界对照
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下面这些内容不应该生成数学字形，因为没有使用 `$` 或 `$$` 围栏：
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```text
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\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
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\sqrt{x^2+y^2}
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\frac{1}{2}
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```
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最后的明确行内公式应该生成数学字形：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。
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